평면응력의 응력변환

▶평면응력 Plane Stress

 

평면응력은 지난번에 설명했듯이...아래와 같다.

 

https://freeengineer.tistory.com/18

평면응력/탄성계수와 전단계수의 관계/평면응력의 후크의법칙/Plane stress/Relation of elastic modulus and

간단하게 단축/순수전단 /2축응력/평면응력을 도시하면 다음과 같다.

스트레스의 종류와 방향에 따라 정의된다.

 

▶평면응력의 응력변환/ 회전된 요소의 응력 

아래 링크는 Uniaxial 하중에 대한 경사면에 작용하는 응력에 대해 정리한 내용이다. 이건 Uniaxial stress이었고 이제 Plane Stress, 즉 x, y의 인장압축응력과 x, y면의 전단응력이 작용할때, 그 요소가 회전하면 어떤 공식으로 치환되는지 확인하는것이다. 

 

https://freeengineer.tistory.com/17 

경사면에 작용하는 응력/Stress on an inclined plane

 

그런데, 이거 왜하냐? 생각해봅자. 음. 어렵다. 재료역학은 배울땐 어렵다. 근데 막상 일할때 써야하면 와 이거 만든사람 천재 라는 생각이 든다. 걍 가만히 있는 요소에 대해 회전된 상태의 응력을 다시 산출하는 이유는 최대전단응력이나 최대수직응력(주응력) 등을 확인하기 위해서다. 위 링크에서 알 수 있듯이 막대기를 일축방향 P로 잡아 댕겼을 뿐인데 파괴는 보통 45도 각도의 전단응력에 의해 발생한다. 즉 회전된 요소에서 최대 전단응력을 구할 수 있으면 이 부재가 파괴가 어떤 하중에서 발생하는지 알 수 있는거다.

 

 

figure1 회전된 평면응력 요소

위의 회전된 요소를 생각해보자. 각도 theta만큼 회전해서 기존 축이 x-y였는데 n-t로 변했다. 이때 변경 전 후의 하중성분의 관계를 찾기 위해 아래와 같이 자유물체도를 가정해보자.

 

figure2 회전된 요소의 자유물체도

위 자유물체도에 대한 n, t방향의 힘의 평형을 구하면 아래의 식과 같다. 힘의 평형 공식을 이용하기 위해서는 각 응력성분을 하중으로 변경해야 하고 이는 응력에 작용하는 단면적을 곱해서 구할 수 있다.

 

여기서 n방향과 t방향의 90도 회전된 성분까지 구하면 다음과 같다.

 

 

여기서 재미있는 관계가 성립하는데, 그 관계는 다음과 같다. 이를 증명하기 위해 위에서 구한 공식에서 sigma_n과 sigma_t를 직접 더해보자. 이 관계는 각도정보를 몰라도 3개의 값만 알면 나머지 한개의 값을 알 수 있기 때문에 편하다.

이를 일반화 하면 직교하는 면에서 수직응력의 합은 각이 따라 변하지 않는 불변량이다.(invariant)

 

▶주응력 (Principal Stress)

이제 주응력을 구해보자. 먼저 주응력이 뭘까. 주응력은 영어로 Principal stress라고 부른다. 주요응력 이런 의미로 생각하면 될거 같다. 더 쉽게 말하면 위에서 공부한 평면응력상태의 요소를 막 회전시켜봤는데, 특정 각도에서 수직응력이 가장 큰거다. 또는 가장 작은거다. 여기서 가장 큰거만 구하면 됬지 왜 작은거 구하냐? 할 수 있는데 가장 작은거는 -방향으로 가장 큰거다. 즉 회전시켰을때 수직응력 절대값이 가장 큰 걸 구하기 위한거다. 아 그런데 주응력까지 하려니깐 페이지가 너무 길어져서 여기 까지만 할란다. 주응력은 다음에 포스팅 해보자.